اشتقاق المجموع الكامل لدالة تبديلية بالاستعانة بخريطة كارنوه متغيرة المحتويات

يُعرَّف المجموع الكامل لدالة تبديلية بأنه صيغة مجموع مضروبات تشكل مضروباتها جميع (ولاشيء سوى) الضامنات الأولية لهذه الدالة. وللمجموع الكامل تطبيقات مفيدة عديدة تشمل التبسيط والتصغير الأعظمي للدول التبديلية، البرهنة على التكافؤ أو الاستقلال، حل المعادلات البولانية، وتحليل المخاطر العابرة. تقدم ورقة البحث هذه أسلوبين مبتكرين لاشتقاق المجموع الكامل بالاستعانة بخريطة كارنوه متغيرة المحتويات، وهي الخريطة التي تتمتع بمزايا تصويرية عديدة وبمضاعفة عدد المتغيرات التي تتعامل معها. وتقتصر الدراسة على اعتبار الدوال التبديلية كاملة التحديد، وذلك ببساطة لأن المجموع الكامل لدالة تبديلية غير كاملة التحديد ما هو إلا ذلك المجموع للدالة كاملة التحديد التي تمثل الحد الأعلى للدالة الأصلية. إن أسلوبنا الأول يستعمل الخريطة المذكورة للحصول على تعبير للدالة في صورة مضروب مجموعات يمكن تنفيذ الضرب فيه ومن ثم إيجاد المجموع الكامل وذلك بعد حذف الحدود القابلة للامتصاص. أما الأسلوب الثاني فيبدأ بالخريطة المذكورة وقد جعلت مدخلاتها في صورة مجموعات كاملة، ثم بعد طيات متعددة للخريطة ينتهي إلى المجموع الكامل المطلوب وذلك شريطة إنجاز الامتصاصات اللازمة عقب كل طية. وينتفع الأسلوبان كثيرا من استخدام مصفوفة ضرب مبتكرة تحد من عدد المقارنات بين الحدود التي تلزم لإنجاز الامتصاصات. إن من الممكن استغلال هذه المصفوفة لتحسين بعض الطرائق الجبرية الصرفة مثل طريقة تايسون لإيجاد المجموع الكامل. إلا أن هذه الطرائق الجبرية، حتى بعد تحسينها، تظل أضعف من طرائق الخريطة متغيرة المدخلات، ذلك لأن تلك الطرائق الأخيرة تجمع بين مزايا الخريطة والجير معا. ويمكن استعمال الصورة المزاوجة لأسلوبي الخريطة المذكورين وذلك لإيجاد الكمية المزاوجة للمجموع الكامل وهي الكمية التي تعرف باسم المضروب الكامل.